viernes, 20 de febrero de 2009

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Se llaman ecuaciones a igualdades en las que aparecen número y letras (incógnitas) relacionados mediante operaciones matemáticas.
Por ejemplo: 3x - 2y = x2 + 1
Son ecuaciones con una incógnita cuando aparece una sola letra (incógnita, normalmente la x).
Por ejemplo: x2 + 1 = x + 4
Se dice que son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (por tanto a 1).
Ejemplos :
3x + 1 = x - 2
1 - 3x = 2x - 9.
x - 3 = 2 + x.
x/2 = 1 - x + 3x/2
Son estas últimas las ecuaciones que vamos a resolver en esta lección.
Solución numérica.
Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = Número. Así:
3x - x = -1 - 2  2x = - 3  x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 - 2; -4,5 + 1 = -3,5.
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución.

Solución numérica

Ejercicio 1.- Supongamos que queremos resolver la ecuación: 3x + 1 = x - 2.
Resolver una ecuación es encontrar un valor de x que, al ser sustituido en la ecuación y realizar las operaciones indicadas, se llegue a que la igualdad es cierta.
En el ejemplo podemos probar con valores:
x = 1, llegaríamos a 5 = -2, luego no es cierto,
x = -1 llegaríamos a -2 = -3, tampoco. Resolvámosla entonces para hallar el valor de x buscado:
Numéricamente, como seguramente sabrás, se resuelve "despejando" la x, o sea ir pasando términos de un miembro a otro hasta conseguir: x = Número. Así:
3x - x = -1 - 2  2x = - 3  x = -3/2 ó x = -1,5.
Efectivamente: 3(-1,5) + 1 = -1,5 - 2; -4,5 + 1 = -3,5.
Decimos en este caso que la ecuación tiene solución

Para resolver una ecuación de primer grado se utilizan dos reglas fundamentales para conseguir dejar la "x" sola en el primer miembro. Veámoslas para el ejercicio anterior:
3x + 1 = x - 2.
- Sumar o restar a los dos miembros un mismo número. En este caso restar 1 a los dos miembros y restar x a los dos miembros:
3x +1 -1 - x = x - x - 2 -1 , que una vez operado queda: 2x = -3. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro sumando lo que resta o restando lo que suma"
- Multiplicar o dividir los dos miembros por un mismo número. En este caso por 2:
2x/2 = -3/2, que una vez simplificado queda x = -3/2 como ya habíamos obtenido antes. Produce el mismo efecto lo que llamamos "pasar de un miembro a otro lo que está multiplicando dividiendo o lo que está dividiendo multiplicando".

Ejercicio 2.
Resuelve numéricamente en tu cuaderno de trabajo la ecuación:
1 - 3x = 2x - 9.
Comprueba el punto donde la recta corta al eje X. El valor de x debe coincidir con el obtenido numéricamente

Ecuaciones sin solución
Ejercicio 3.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
x - 3 = 2 + x.
Rápidamente obtendrás la expresión 0 = 5 ¿qué significa? Desde luego esta igualdad no es cierta independientemente del valor que tome x.
Decimos que en este caso la ecuación no tiene solución

Ejercicio 4.-
Resuelve numéricamente, comprobando que no tiene solución, la ecuación:
3x - 2 + x = 5x + 1 - x

Ecuaciones con infinitas soluciones
Ejercicio 5.- Resuelve en el cuaderno de trabajo la siguiente ecuación:
2x-1 = 3x + 3 - x - 4
Ahora habrás llegado a la expresión 0 = 0 ¿qué significa ahora? La igualdad que has obtenido es cierta pero se te han eliminado la x. ¿Cuál es la solución?

Si la igualdad es cierta seguro, ¡lo será para cualquier valor de x! Compruébalo sustituyendo x por 0, 1, -3 u otro valor que desees.
En este caso se dice que la ecuación tiene infinitas soluciones (cualquier valor de x es solución).
Gráficamente no podemos hacer una interpretación similar a la de las escenas anteriores ya que el programa no interpreta de ninguna forma la igualdad 0 = 0.
Este tipo de ecuaciones se denominan IDENTIDADES
Ejercicio 6.- Comprueba en tu cuaderno de trabajo que las siguiente ecuación es una identidad.
3x -2 + x = 1 + 4x - 3

Problemas de aplicación

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. Por ejemplo:
Ejercicio 7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos :
x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será:
x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40,
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años

La solución de la ecuación se puede ver también en esta escena

Plantea y resuelve numéricamente, y gráficamente en esta escena, cambiando la ecuación, el siguiente problema:
Ejercicio 8.- En una caja hay el doble de caramelos de menta que de fresa y el triple de caramelos de naranja que de menta y fresa juntos. Si en total hay 144 caramelos, ¿cuántos hay de cada sabor?

Ejercicios finales

Resuelve numéricamente en el cuaderno de trabajo y gráficamente en la escena que se te presenta a continuación los ejercicios y problemas siguientes:

Ejercicio 9.- Resolver las siguientes ecuaciones:
a) -5x = 12 - x
b) 2(x-7)-3(x+2)+4(x+1)-2 = 0 (¡Ojo con los signos delante de los paréntesis !)
c) 3x - 5 = x/2 (Observa que para eliminar el 2 basta multiplicar toda la ecuación por 2)
d) 3x + 4 - x = 7 + 2x
e) 2x - 1 = 3(x + 2) - x
Ejercicio 10.- Plantea y resuelve los siguientes problemas:
a) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m. más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
b) Halla un número tal que su mitad más su cuarta parte más 1, sea igual al número pedido

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